✨Hàm mũ

Trong toán học, hàm mũ là hàm số có dạng y = a^x, với cơ số a là số dương khác 1.

Tính chất

nhỏ|Đồ thị của các hàm số: y = 10^x, y = [[số e|e^x, y = 2^x, y = (1/2)^x (cơ số ghi ngay trên đồ thị tương ứng).]]

• Hàm số luôn dương với mọi giá trị của x.
• Nếu a > 1 hàm đồng biến, 0 < a < 1 hàm nghịch biến.
• Đồ thị nhận trục hoành làm đường tiệm cận và luôn cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 1.
• Đạo hàm: :$\backslash ,\{d\; \backslash over\; dx\}\; e^x\; =\; e^x.$ :$\{d\; \backslash over\; dx\}\; e^\{f(x)\}\; =\; f\text{'}(x)e^\{f(x)\}.$ :$\backslash ,\{d\; \backslash over\; dx\}\; a^x\; =\; a^xln(a).$ :$\backslash ,\{d\; \backslash over\; dx\}\; a^\{f(x)\}\; =\; f\text{'}(x)a^\{f(x)\}ln(a).$
• Hàm mũ luôn có hàm ngược là hàm logarit.

Các công thức đặc biệt

nhỏ|Đồ thị hàm y = [[số e|e^x (màu xanh) và của chính hàm đó theo phép nội suy Taylor.]] *Từ phép nội suy Taylor người ta tìm được ước lượng như sau: :$e^x\; =\; \backslash sum\_\{n\; =\; 0\}^\{\backslash infty\}\; \{x^n\; \backslash over\; n!\}\; =\; 1\; +\; x\; +\; \{x^2\; \backslash over\; 2!\}\; +\; \{x^3\; \backslash over\; 3!\}\; +\; \{x^4\; \backslash over\; 4!\}\; +\; \backslash cdots.$

Các công thức liên phân số của số Euler

:$\backslash ,\; \backslash \; e^x=1+\backslash cfrac\{x\}\{1-\backslash cfrac\{x\}\{x+2-\backslash cfrac\{2x\}\{x+3-\backslash cfrac\{3x\}\{x+4-\backslash cfrac\{4x\}\{x+5-\backslash cfrac\{5x\}\{x+6-\backslash ddots$

Trường hợp đặc biệt khi x = y = 1: :$e^2\; =\; 7+\backslash cfrac\{2\}\{5+\backslash cfrac\{1\}\{7+\backslash cfrac\{1\}\{9+\backslash cfrac\{1\}\{11+\backslash cfrac\{1\}\{13+\backslash ddots.\}$

Mở rộng cho số mũ phức

Đồ thị dạng quang phổ của hàm z = e^{x + iy}. Hướng từ tối đến sáng theo chiều tăng của trục thực cho thấy hàm số là đơn điệu tăng. Các vạch màu luân phiên tuần hoàn song song với trục thực cho thấy hàm là [[hàm tuần hoàn.]] Người ta đã chứng minh được trong mặt phẳng phức thì công thức ước lượng trên vẫn đúng. Do vậy mọi tính chất của hàm mũ số mũ thực đều đúng trong số mũ phức.

Khi đó, biểu thị: :$e^\{x\; +\; iy\}\; =\; e^x\; \backslash times\; e^\{iy\}$

Theo công thức Euler ta có: $e^\{iy\}\; =\; \backslash cos\; y\; +\; i\backslash sin\; y$

Như vậy: $e^\{x\; +\; iy\}\; =\; e^x(\backslash cos\; y\; +\; i\backslash sin\; y)$. Theo đó hàm tuần hoàn theo chu kỳ 2πi.

Tuy nhiên cần lưu ý, phép nâng lũy thừa trong hàm mũ phức không hề giống như mũ thực: :$(e^z)^w\; \backslash not=\; \backslash \; e^\{(zw)\}$

Nếu như cơ số cũng là số phức người ta tính như sau: :$a^b\; =\; \backslash left\; (re^$